Диффузия (вверху) и теплопроводность (внизу) — явления, описываемые схожими математическими законами. Изображения c сайтов highlands.edu и comsol.com
Второй класс явлений, про который хочется рассказать, можно охарактеризовать одним общим словом — диффузия. Сюда входит не только непосредственно сама диффузия — взаимопроникновение двух веществ за счет хаотического движения молекул, — но и разнообразные тепловые и даже электронные процессы, подчиняющиеся аналогичным законам. Вы открыли пузырек с парфюмом — и его молекулы, хаотично двигаясь, постепенно расходятся по комнате. Вы поставили на подставку горячую кастрюлю — и ее жар стал перетекать в холодную среду. Прилетевший откуда-то фотон высокой энергии поглотился веществом, выбил много электронов — и они начали разбредаться по сторонам.
Во всех этих эффектах тоже есть некое перемещение в пространстве. Но только не механическое движение тел, а перемещение некоторой распределенной характеристики: концентрации вещества, температуры, плотности свободных электронов. У разных форм такого движения есть общее свойство: оно происходит не по инерции, а в виде самопроизвольного расплывания, спонтанного выравнивания неоднородностей. Если сначала область повышенной температуры или концентрации была очень компактной, то с течением времени она постепенно расширяется.
D — коэффициент диффузииА теперь внимание: расширение это описывается не линейным законом, как при равномерном движении, и не квадратичной зависимостью, как при равноускоренном, а квадратным корнем из времени. Входящий в формулу численный параметр D называется коэффициентом диффузии (или в случае распределения тепла — громоздким термином коэффициент температуропроводности) и имеет необычную размерность: м2/с (или, в более практически полезных единицах, cм2/час).
Для того, чтобы почувствовать необычность такой зависимости, — время квадратично растет с расстоянием, — представим такую жизненную ситуацию. За окном после долгой прохлады вдруг наступила жара, и холодная земля начала прогреваться. Как быстро тепло будет распространяться вглубь почвы? Для простоты мы считаем, что в этот процесс не вмешиваются грунтовые воды,и вообще никаких иных процессов, кроме пассивной теплопередачи, тут не происходит.
Ответ дает нам выписанная формула. Типичный коэффициент температуропроводности почвы составляет 10 cм2/час. Подставляя числа, получаем, что самый верхний слой прогревается довольно быстро: за первые 10 минут тепло проникает на глубину около сантиметра. Но постепенно скорость замедляется. За сутки тепло успевает проникнуть примерно на десяток сантиметров — это та глубина, до которой «добивает» дневной жар. Дальше всё протекает еще медленнее. Даже если жара продержится целый месяц и будет стоять неизменной днями и ночами, это тепло успеет доползти только до метровой глубины. В реальности, конечно, суточные изменения температуры на поверхности земли сильно сглаживают соответствующие колебания на таких глубинах.
Отсюда уже нетрудно сделать два вывода, важных в практическом плане. Во-первых, сезонные повышения и понижения температуры проникают вглубь почвы волнами; они так и называются — температурные волны. На дворе может уже наступить зима, но до погреба, находящегося на глубине несколько метров, только сейчас дошла волна летнего тепла. И наоборот, летом, в самую жару там может быть очень прохладно. Собственно, для этого погреба и предназначены. Ну а во-вторых, на глубинах в десятки метров от сезонных колебаний температуры не остается и следа. Тепловые условия там отражают лишь среднюю по многим векам температуру в данной местности. Именно поэтому в Якутии, например, жаркое лето неспособно растопить вечную мерзлоту, которая иногда начинается примерно с метровой глубины, — а всё потому, что тепло не «летит по инерции», а расплывается по закону диффузии.
Волнообразное распространение тепла вглубь почвы
Во избежания недоразумения отметим, что, разумеется, не все явления теплопередачи описываются таким законом. Кроме пассивной теплопроводности бывает теплоперенос за счет конвекции, излучения и некоторых других эффектов. Но в сплошном твердом веществе основную роль играет всё же играет теплопередача, и там квадратный корень от времени работает на полную катушку.
Астрономические времена. Солнечная система Астероид-убийца